Geometria (canale A)
Denominazione del corso: Geometria (canale A)Corso di studi: I3D - Laurea in Ingegneria Industriale
Quadrimestre/Semestre: 1°
Anno: 1°
Numero di moduli: 1
Crediti: 9
Ore: 90
Tipologia: A - Attivitą formative di base
Struttura: monodisciplinare
Settore Scientifico Disciplinare: MAT/03 (Geometria)
Docente: Mauro Zannetti (90 ore). Titolo copertura: Ricercatore
Orario di ricevimento: Ricevo IN PRESENZA a Monteluco di Roio nello studio dei docenti delle materie di base (blocco B, piano -1) il martedì mattina alle ore 8:30 su appuntamento da concordare tramite email a mauro.zannetti@univaq.it.
Programma sintetico del corso:
Vettori liberi. Spazi vettoriali reali. Matrici e determinanti. Sistemi lineari. Applicazioni lineari. Diagonalizzazione di una matrice quadrata. Questini metriche sui vettori liberi. Elementi di Geometria affine del piano e dello spazio. Nozioni metriche nel piano e nello spazio. La circonferenza e le coniche nel piano euclideo. La sfera e la circonferenza nello spazio.Programma esteso del corso:
Programma completo (PDF)
(Aggiornato il 21-02-2024) VETTORI LIBERI. Segmenti equipollenti. Vettore libero. Vettori paralleli e vettori complanari. Somma di due vettori liberi e sue proprieta'. Prodotto di un vettore libero per uno scalare (numero reale) e sue proprieta'. Combinazioni lineari. Vettori liberi linearmente dipendenti e indipendenti. SPAZI VETTORIALI REALI. Spazio vettoriale reale. Sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari. Dipendenza ed indipendenza lineare. Generatori. Spazi finitamente generati. Basi. Dimensione di uno spazio vettoriale. MATRICI e DETERMINANTI. Matrici. Somma di due matrici dello stesso tipo e sue proprieta'. Prodotto di una matrice per uno scalare e sue proprieta'. Prodotto (riga per colonna) di due matrici e sue proprieta'. Trasposta di una matrice e sue proprieta'. Spazio delle righe e spazio delle colonne. Rango per righe (o colonne) di una matrice. Trasformazioni elementari per righe. Matrici equivalenti (per righe). Matrici a scalini (per righe). Metodo di riduzione di Gauss-Jordan. Determinante di una matrice quadrata. Proprieta' del determinante. Teoremi di Laplace. Minori e rango per minori. Teorema degli orlati (enunciato). Aggiunta di una matrice. Matrice inversa. Cambiamento di base in uno spazio vettoriale. SISTEMI LINEARI. Generalita'. Sistemi compatibili. Sistemi equivalenti. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi normali. Teorema di Cramer. Sistemi non normali compatibili. Sistemi omogenei. Autosoluzioni. Lo spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo. L'insieme delle soluzioni di un sistema compatibile. Metodo di eliminazione di Gauss per i sistemi lineari APPLICAZIONI LINEARI. Applicazioni tra insiemi. Applicazioni lineari o omomorfismi. Immagine e nucleo. Matrice associata ad una applicazione lineare. Rango e nullita' di un'applicazione lineare. Applicazioni lineari iniettive, suriettive e biettiva (isomorfismi). Endomorfismi e matrici associate. DIAGONALIZZAZIONE DI UNA MATRICE QUADRATA. Autovalori ed autovettori di una matrice quadrata. Polinomio caratteristico e molteplicita' algebrica di un autovalore. Autospazio e molteplicita' geometrica di un autovalore. Basi di autovettori. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili. Diagonalizzazione di una matrice quadrata. QUESTIONI METRICHE SUI VETTORI LIBERI Angolo tra due vettori liberi. Prodotto scalare e sue proprieta'. Prodotto vettoriale e sue proprieta'. Prodotto misto e sue proprieta'. Basi ortonormali dello spazio dei vettori liberi. ELEMENTI DI GEOMETRIA AFFINE DEL PIANO. Riferimento cartesiano affine nel piano. Coordinate cartesiane nel piano. Componenti di un vettore libero in funzione delle coordinate degli estremi di un suo rappresentante. Equazione vettoriale e equazioni parametriche di una retta. Condizione di allineamento di tre punti. Equazione cartesiana di una retta. Forme particolari dell'equazione di una retta. Intersezione e parallelismo di due rette. Fascio di rette. Retta generica per un punto dato. Condizione perché tre rette appartengano ad un fascio. ELEMENTI DI GEOMETRIA AFFINE DELLO SPAZIO Riferimento cartesiano affine nello spazio. Coordinate cartesiane nello spazio. Componenti di un vettore libero in funzione delle coordinate degli estremi di un suo rappresentante. Condizione di complanarita' di quattro punti. Equazione cartesiana di un piano. Forme particolari dell'equazione di un piano. Condizioni di parallelismo di due piani. Stella di piani. Fascio di piani. Condizione perché tre piani appartengano ad un fascio. Equazione vettoriale e equazioni parametriche di una retta nello spazio. Condizioni di allineamento di tre punti. Retta per due punti dati. Equazioni cartesiane di una retta. Equazioni ridotte di una retta. Condizioni di parallelismo di due rette. Intersezione e parallelismo di retta e piano. Complanarita' di due rette. Rette sghembe. NOZIONI METRICHE NEL PIANO Riferimento cartesiano ortonormale nel piano. Significato geometrico dei coefficienti delle incognite nell'equazione di una retta. Perpendicolarita' di due rette. Distanza tra due punti. Distanza di un punto da una retta. Distanza tra due rette parallele. Area di un triangolo. Angolo tra due rette. Cambiamento di riferimento cartesiano ortonormale. NOZIONI METRICHE NELLO SPAZIO Riferimento cartesiano ortonormale nello spazio. Perpendicolarita' di due rette. Significato geometrico dei coefficienti delle incognite nell'equazione di un piano. Perpendicolarita' di due piani. Piano e retta perpendicolari. Distanza di due punti. Distanza di un punto da un piano. Distanza di un punto da una retta. Distanza tra due piani paralleli. Distanza tra una retta e un piano paralleli. Distanza tra due rette parallele nello spazio. Distanza tra due rette sghembe. Retta di minima distanza. Angolo tra due rette nello spazio. Angolo tra due piani. Angolo tra una retta e un piano. LE CIRCONFERENZA E LE CONICHE NEL PIANO EUCLIDEO. Equazione cartesiana della circonferenza nel piano. Mutua posizione di una retta e di una circonferenza nel piano. Mutua posizione di due circonferenze nel piano. Ellisse. Iperbole. Parabola. La classificazione delle coniche nel piano euclideo. Le equazioni canoniche. LA SFERA E LA CIRCONFERENZA NELLO SPAZIO Equazione cartesiana della sfera. Mutua posizione di una sfera e un piano. Piano tangente ad una sfera in un suo punto. Mutua posizione di due sfere. La circonferenza nello spazio.
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Modalità d'esame:
Scritto e orale
Risultati di apprendimento previsti:
Al termine del Corso gli Studenti conseguiranno conoscenze e capacita' di comprensione nell'ambito dei principali metodi geometrici per l'ingegneria. Gli argomenti che consentiranno di raggiungere tale obiettivo saranno i vettori, le matrici, i sistemi lineari, e la geometria analitica del piano e dello spazio.
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